O inverso de um número complexo

Dado o número complexo z=a+bi, não nulo (a ou b deve ser diferente de zero) definimos o inverso de z como o número z^-1=u+iv, tal que

z . z^-1 = 1

O produto de z pelo seu inverso z^-1 deve ser igual a 1, isto é:

(a+bi).(u+iv) = (au-bv)+(av+bu)i = 1 = 1+0.i

o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas:

a u - b v = 1

b u + a v = 0

Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramér e possui uma única solução (pois a ou b são diferentes de zero), fornecendo:

u = a/(a²+b²)

v = -b/(a²+b²)

assim, o inverso do número complexo z=a+bi é:

Obtenção do inverso de um número complexo: Para obter o inverso de um número complexo, por exemplo, o inverso de z=5+12i, deve-se:

1. Escrever o inverso desejado na forma de uma fração

1. 
2. Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z
   
3. Lembrar que i² = -1, simplificar os números complexos pela redução dos termos semelhantes, para obter
   
   
   
   
   
   
   

   Divisão de números complexos: A divisão entre os números complexos z=a+bi e w=c+di (w não nulo) é definida como o número complexo obtido pelo produto entre z e w^-1, isto é: z/w=z.w^-1.

   Exemplo: Para dividir o número complexo z=2+3i por w=5+12i, basta multiplicar o numerador e o denominador da fração z/w pelo conjugado de w:

   

   
   

   
   

   Oposto de um número complexo: O oposto do número complexo z=a+bi é o número complexo denotado por -z=-(a+bi), isto é:

   -z = Oposto(a+bi) = (-a) + (-b)i

   O oposto de z=-2+3i é o número complexo -z=2-3i.

   
   

   
   

   Conjugado de um número complexo: O número complexo conjugado de z=a+bi é o número complexo denotado por z*=a-bi, isto é:

   z* = conjugado(a+bi) = a + (-b)i

   O conjugado de z=2-3i é o número complexo z*=2+3i.

   
   

   Potências de i: Ao tomar i=R[-1], temos uma sequência de valores muito simples para as potências de i:

   Potência	i2	i3	i4	i5	i6	i7	i8	i9
   Valor	-1	-i	1	i	-1	-i	1	i

   Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos expoentes são múltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda potência de i pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i, apenas conhecendo o resto da divisão do expoente por 4.

   Exercício: Calcular os valores dos números complexos: i⁴⁰², i⁴⁰³³ e i¹⁹⁹⁸. Como exemplo: i⁴⁰²=i⁴⁰⁰.i² = 1.(-1) = -1